V hoteli Nekonečno je nekonečne veľa izieb a v každej je ubytovaný jeden hosť. Keď príde nový hosť, vedúci hotela popremiestňuje ubytovaných hostí tak, aby získal voľnú izbu pre nového hosťa. Každého hosťa presunie do izby o jedno číslo väčšej. Hosť z izby 1 bude bývať v izbe číslo 2, hosť z izby číslo 2 pôjde do izby 3, ... Nový hosť sa ubytuje v izbe číslo 1.
Novému hosťovi sa táto služba veľmi zapáčila. Kedykoľvek prišiel, vždy sa našla pre neho izba. Tak jedného dňa prišiel do hotela spolu s nekonečným počtom kamarátov. Vedúci hotela si s takým množstvo nových ľudí poradil. Všetkých ubytovaných hostí poposúval do izieb označených dvojnásobkom ich pôvodnej izby. Čiže hosť z čísla 1 šiel do izby číslo 2, hosť z 2 šiel do 4, hosť z 3 šiel do 6,... Zostali voľné izby s nepárnymi číslami a tam ubytoval nekonečný počet kamarátov.
Tento hotel patril do siete hotelov, ktorých bolo nekonečno a ubytuvávali podobne ako náš hotel nekonečne veľa hostí. Vedúci siete hotelov sa však rozhodol, že pre veľký úspech našho hotela všetky ostatné zruší a všetkých hostí premiestni do nášho hotela. A tak nekonečne veľa hotelov poslalo po nekonečne veľa hosťoch do nášho hotela.
Ako má ubytovať vedúci nášho hotela hostí z ostatných hotelov tak, nemal zbytočne voľné izby?
Deliteľnosť jedenástimi
Dokážte, že číslo je deliteľné jedenástimi práve vtedy, ak je deliteľné číslo, ktoré vznikne nasledovne: od súčtu párnych cifier daného čísla odpočítame súčet nepárnych cifier. Príklad pre štvorciferné číslo ABCD: ABCD je deliteľné 11 práve vtedy, ak A + C - B - D je tiež deliteľné jedenástimi.
Piráti
Máme 13 pirátov, ktorí potrebujú ochrániť svoju truhlicu s pokladom. Rozhodli sa, že truhlicu môžu otvoriť jedine vtedy, ak je prítomných viac ako polovica pirátov. Prišli preto za kováčom, nech im pripravil zámky a kľúče na tento účel. Každý zámok musí byť otvorený, ak sa má truhlica otvoriť. Môže existovať viacero kľúčov pre jednu zámku, ale jeden kľúč otvorí len jednu zámku. Kováč môže dať každému pirátovi viacero kľúčov. Koľko zámkov musí kováč urobiť a ako má rozdistribuovať kľúče medzi pirátov, aby mohli otvoriť truhlicu, len keď sa zíde väčšina pirátov?
Kružnica a pravítko
Na papieri je narysovaná kružnica, ktorej stred nepoznáme. K dispozícii máte ceruzku a pozdĺžne pravítko (nie trojuholník), ktorého šírka je menšia jako polomer kružnice.
Popíšte spôsob, ako s danými nástrojmi určíte stred kružnice.
12 mincí a 3 váženia
Máme 12 mincí a dvojramenné váhy. 11 mincí má rovnakú hmotnosť, dvanásta minca ma inú hmotnosť. Nevieme, či väčšiu alebo menšiu.
Ako môžte na 3 váženia zistiť, ktorá minca ma inú hmotnosť ako ostatné a ešte určiť, či je ťažšia alebo ľahšia?
Papagáje
Anička dostala na narodeniny dvoch papagájov. Je to špeciálny druh, pri ktorom sa na prvý pohľad nedá určiť, či sa jedná o samčeka alebo samičku. Anička chcela mať vždy párik (samčeka + samičku), no keďže ona ich rozoznať nevie, vôbec netuší, čo vlastne doma chová.
Raz jeden papagáj ochorel a tak ho Anička vzala k zverolekárovi. Ten papagája vyšetril a povedal, že je to samček. Teraz už Anička vedela, že s pravdepodobnosťou 50% doma chová párik.
Prešiel nejaký čas a jeden z papagájov ochorel znovu. Keďže ich bolo ťažké rozoznať, nie je vôbec jasné, či ochorel ten istý čo minule alebo nie. Každopádne, zverolekár znovu papagája vyšetril a určil, že je to samček.
Ako sa teraz zmenila pravdepodobnosť, že Anička chová párik?
Ako sa bude meniť táto pravdepodobnosť po ďalšej a ďalšej a ďalšej návšteve zverolekára, keď tento zakaždým vyhlási, že sa jedná o samčeka?
Zlomok z čísla
Máme dané číslo 1,999999999999999999... pričom 9 je perióda. Utvorte pomocou štandardnej matematickej metódy, ktorú určite všetci zo školy poznáte z tohto čísla zlomok tak, aby po spätnom premenení zlomku na desatinné číslo bol výsledok 1,9 periodických.
Kruh vs. trojuholník
Kruh s polomerom 15cm je vpísaný do rovnostranného trojuholníka. Koľko meria výška trojuholníka?
Hrianky s variabilným časom
Máme tri hrianky. K dispozícii máme panvicu, na ktorú sa zmestia 2 alebo 3 hrianky naraz. Opečenie jednej strany hrianky trvá niekedy 2 a niekedy 3 minúty.Koľko minimálne času potrebujeme do chvíle, keď môžme upečené hrianky zjesť?
Neunikátne mince s vrátením
Majme hodnoty tovaru od 1 po 99. Ďalej máme možnosť definovať hodnotu mincí, za ktoré sa tovar dá kupiť, pričom každú mincu jednej hodnoty môžme použiť aj viac krát. Pri kúpe tovaru Vám obchodník môže vrátiť nejaké mince späť. Aký najmenší počet mincí predaných obchodníkovi aj vrátených od obchodníka je potrebných na vyjadrenie hodnôt tovarov v cene od 1 po 99.Pokúste sa nájsť všetky kombinácie mincí.Dokážte, že menší počet mincí už použiť nie je možné.
10 vriec
Pred Vami je 10 vriec. V každom vreci je aspoň 10 kameňov. V deviatich vreciach sú kamene, ktoré vážia 10 gramov. V ostatnom vreci sú kamene ťažké 9 gramov. K dispozícii máte váhy, ktoré dokážu odmerať presne na gramy. Ako môžte len jedným vážením zistiť, v ktorom vreci sú kamene vážiace 9 gramov.
Žiarovky
Nachádzaš sa v miestnosti s 3 vypínačmi. Vo vedľajšej miestnosti sú 3 žiarovky, každý vypínač patrí k nejakej žiarovke. Z jednej miestnosti do druhej nevidno. Ako zistíš, ktorý vypínať patrí ku ktorej žiarovke, ak do miestnosti so žiarovkami smieš vstúpiť iba raz?
Loptička v jame
Malému chlapcovi spadla do úzkej hlbokej rúry pingpongová loptička. Rúra bola len o niečo širšia ako loptička, teda rukou ju vytiahnuť nemohol. Čo by ste mu poradili aby dostal túto loptičku von (bez jej poškodenia)?
Magnet
Táto hádanka (logická úloha) je z rubriky Martina Gardnera o zábavnej matematike z časopisu Scientific American.
Ste v miestnosti, kde nie je nič kovové, až na dve železné tyčky. Jedna je magnet, druhá zmagnetizovaná nie je. Ako zistíte, ktorá z nich je magnet?
Šejkovo dedičstvo
Šejk mal dvoch synov. Na smrteľnej posteli im povedal, že dedičstvo získa ten z nich, koho ťava dôjde do mesta ako druhá (z oboch tiav). A tak sa synovia vydali z domovskej oázy na cestu do mesta. Po troch dňoch pomalého poflakovania na ceste stretli starca (samozrejme mimoriadne múdreho). Keď mu povedali o svojom trápení, niečo im poradil. Hneď potom vyskočili obaja na ťavy a uháňali k mestu.
Čo im poradil?
Kyvadlové hodiny
Je to starodávna hádanka. Jeden filozof mal kyvadlové hodiny, ktoré však zabudol natiahnuť. Doma pritom nemal žiadne iné hodiny či hodinky, ani rádio, ani televízor, ani telefón, ani iné zariadenie, pomocou ktorého by vedel stanoviť presný čas. Keď sa tie hodiny zastavily odišiel na návštevu ku kamarátovi, zostal u neho celý večer a kaď sa vrátil domov, tak hodiny správne nastavil.
Ako to dokázal?
Vianočný stromček
Na stromčeku okrem iných ozdôb viseli 4 anjeli. Dvaja z nich majú modrú svätožiaru a dvaja žltú, ale nikto z nich si za hlavu nevidí, takže nikto nevie, akú svätožiaru má. Najvyššie visí anjel A a dobre vidí na anjelov B a C, ktorí visia pod ním. Nižšie visí anjel B, ktorý dobre vidí iba na anjela C pod sebou. Anjel C nevidí na nikoho. Pretože anjel D visí schovaný pod vetvičkou, nikto ho nevidí a ani on nikoho nevidí.
Kto z nich prvý uhádne, akú má sám na hlave svätožiaru?
